Ώρες Γραφείου Ενόψει Εξέτασης Σεπτεμβρίου

Eνόψει της εξέτασης του Σεπτεμβρίου, ανακοινώνονται ώρες γραφείου για την Πέμπτη  01/09/2016, 14:30-16:00. (Υπενθύμιση: το γραφείο μου βρίσκεται πλέον στο κτήριο της Δεριγνύ 12 στον 2ο όροφο, ενώ ο αριθμός τηλεφώνου είναι ο 2108203422).
Στέλιος Αρβανίτης

Ώρες Γραφείου Ενόψει Εξέτασης

Eνόψει της εξέτασης, ανακοινώνονται ώρες γραφείου για την Παρασκευή 01/07/2016, 14:00-16:00. (Προσοχή: το γραφείο μου βρίσκεται πλέον στο κτήριο της Δεριγνύ 12 στον 2ο όροφο, ενώ ο αριθμός τηλεφώνου είναι ο 2108203422).

Στέλιος Αρβανίτης

Διόρθωση Παροράματος στις Σημειώσεις

Στην σελίδα 10 των σημειώσεων εδώ, που αφορά στην διακρίβωση του για το παράδειγμα ΣΣ5 υπάρχει η ισότητα

η δεξιά πλευρά της οποίας προφανώς δεν προκύπτει από την αριστερή. Αυτό οδηγεί και σε λάθος συμπέρασμα για το ζητούμενο. Η σωστή έκφραση είναι η

η δεξιά πλευρά της οποίας συγκλίνει στο  οπότε αποκτούμε (γιατί;) ότι , και ότι αν . Τελικά (γιατί;) καταλήγουμε στο ότι .

Το παραπάνω διορθώθηκε στις εν λόγω σημειώσεις (δείτε την ανανεωμένη ανάρτηση εδώ, που περιέχει πλέον τις διορθωμένες σημειώσεις– όπως είναι προφανές η διόρθωση αφορά στα ανάλογα μέρη της σελίδας 10).

Διόρθωση Τυπογραφικού Λάθους σε Σημειώσεις

Στην σελίδα 13 των σημειώσεων εδώ υπάρχουν οι  συνεπαγωγές

\Rightarrow \ln (u)=-\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i+1}(u-1)^{i+1}\:\forall u\in (0,2)

\Rightarrow \ln (u)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i+1}(u-1)^{i+1},\:\forall u\in (0,2).

Προφανώς, ενώ η πρώτη είναι σωστή,  η δεύτερη είναι λάθος αφού δεν ενσωματώνει το πρόσημο εκτός της σειράς που έχει η πρώτη, στον εκθέτη της έκφρασης της δεύτερης  για το -1 μέσα στην σειρά. Αυτό άλλωστε μπορεί να συναχθεί και από τα όσα λέγονται παρακάτω (γιατί;) καθώς και από την προτεινόμενη άσκηση 5 εδώ για a=1. Επομένως μέσω της ενσωμάτωσης του εξωτερικού προσήμου στον εκθέτη της έκφρασης για το -1, μέσα στην σειρά, οπότε η τελευταία θα γίνει -(-1)^{i+1}=(-1)^{i+2}=(-1)^{2}(-1)^{i}=(-1)^{i}, η σωστή έκφραση είναι η

\Rightarrow \ln (u)=-\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i+1}(u-1)^{i+1}\:\forall u\in (0,2)

\Rightarrow \ln (u)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i}}{i+1}(u-1)^{i+1},\:\forall u\in (0,2).

Το παραπάνω διορθώθηκε στις εν λόγω σημειώσεις (δείτε την ανάρτηση εδώ, που περιέχει πλέον τις διορθωμένες σημειώσεις– όπως είναι προφανές η διόρθωση αφορά μόσο στην συγκεκριμένη έκφραση της σελίδας 13).

Υπόδειξη για προτεινόμενη άσκηση: δεδομένου ότι όπως τελικά έχουμε εξάγει

\ln (x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i}}{i+1}(x-1)^{i+1},\:\forall x\in (0,2],

και αφού στα πλαίσια της άσκησης 2 εδώ , \varepsilon\in (1,2), έχουμε ότι (γιατί;)

\ln (x)-(x-1)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i}}{i+1}(x-1)^{i+1},\:\forall x\in (1,\varepsilon), το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την έυρεση του ολοκληρώματος (που θα είναι μια συγκλίνουσα πραγματική σειρά για όποιο τέτοιο \varepsilon-γιατί;) στην εν λόγω άσκηση.

 

 

Διόρθωση Τυπογραφικού Λάθους στην Διατύπωση Προτεινόμενης Άσκησης

Στην προτεινόμενη άσκηση 3 που βρίσκεται στην τελευταία σελίδα των σημειώσεων εδώ (που αφορά στην εύρεση λύσεων διαφορικών εξισώσεων με την μέθοδο των δυναμοσειρών) δίνεται από παραδρομή η εξίσωση xy^{2}=y+x (η οποία προφανώς δεν περιλαμβάνει παράγωγο). Αντικαταστήστε την με την εξίσωση xy'=y+x^{\kappa}, όπου \kappa=0,1,2,.... Υπάρχει \kappa για το οποίο η παραπάνω δεν έχει λύση με την μορφή δυναμοσειράς με κέντρο το 0;

Περαιτέρω Ώρες Γραφείου ΙΙ

Δεδομένης της μετάθεσης της εξέτασης του μαθήματος (δείτε π.χ. εδώ και εδώ) και επιπλέον των ωρών γραφείου της Τρίτης 2 Φεβρουαρίου, ανακοινώνονται και ώρες γραφείου για την Δευτέρα 15 Φεβρουαρίου 15:30-17:30.