Ώρες Γραφείου Ενόψει Εξέτασης Σεπτεμβρίου

Eνόψει της εξέτασης του Σεπτεμβρίου, ανακοινώνονται ώρες γραφείου για την Πέμπτη 01/09/2016, 14:30-16:00. (Υπενθύμιση: το γραφείο μου βρίσκεται πλέον στο κτήριο της Δεριγνύ 12 στον 2ο όροφο, ενώ ο αριθμός τηλεφώνου είναι ο 2108203422).
Στέλιος Αρβανίτης

Ώρες Γραφείου Ενόψει Εξέτασης

Eνόψει της εξέτασης, ανακοινώνονται ώρες γραφείου για την Παρασκευή 01/07/2016, 14:00-16:00. (Προσοχή: το γραφείο μου βρίσκεται πλέον στο κτήριο της Δεριγνύ 12 στον 2ο όροφο, ενώ ο αριθμός τηλεφώνου είναι ο 2108203422).

Στέλιος Αρβανίτης

Διόρθωση Παροράματος στις Σημειώσεις

Στην σελίδα 10 των σημειώσεων εδώ, που αφορά στην διακρίβωση του $X^{\star}$ για το παράδειγμα ΣΣ5 υπάρχει η ισότητα

$\frac{\left | \frac{\left (-1 \right )^{n+1}}{n+2}\frac{1}{x^{n+1}} \right |}{\left | \frac{\left (-1 \right )^{n}}{n+1}\frac{1}{x^{n}} \right |}=\frac{n+1}{n+2}\left | x \right |$

η δεξιά πλευρά της οποίας προφανώς δεν προκύπτει από την αριστερή. Αυτό οδηγεί και σε λάθος συμπέρασμα για το ζητούμενο. Η σωστή έκφραση είναι η

$\frac{\left | \frac{\left (-1 \right )^{n+1}}{n+2}\frac{1}{x^{n+1}} \right |}{\left | \frac{\left (-1 \right )^{n}}{n+1}\frac{1}{x^{n}} \right |}=\frac{n+1}{n+2}\left | x \right |^{-1}$

η δεξιά πλευρά της οποίας συγκλίνει στο $\left | x \right |^{-1}$ οπότε αποκτούμε (γιατί;) ότι $\left ( -\infty,-1 \right )\cup \left ( 1,+\infty ) \subseteq X^{\star}$ , και ότι αν $\left | x \right |<1\Rightarrow x\notin X^\star$ . Τελικά (γιατί;) καταλήγουμε στο ότι $X^\star=\left ( -\infty,1 \right )\cup [1,+\infty)$ .

Το παραπάνω διορθώθηκε στις εν λόγω σημειώσεις (δείτε την ανανεωμένη ανάρτηση εδώ, που περιέχει πλέον τις διορθωμένες σημειώσεις– όπως είναι προφανές η διόρθωση αφορά στα ανάλογα μέρη της σελίδας 10).

Τελευταίες Ώρες Γραφείου Πριν Την Εξέταση

Ανακοινώνονται ώρες γραφείου για αύριο Παρασκευή 19/2, 17:00-18:00.

Διόρθωση Τυπογραφικού Λάθους σε Σημειώσεις

Στην σελίδα 13 των σημειώσεων εδώ υπάρχουν οι συνεπαγωγές

$\Rightarrow \ln (u)=-\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i+1}(u-1)^{i+1}\:\forall u\in (0,2)$

$\Rightarrow \ln (u)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i+1}(u-1)^{i+1},\:\forall u\in (0,2).$

Προφανώς, ενώ η πρώτη είναι σωστή, η δεύτερη είναι λάθος αφού δεν ενσωματώνει το πρόσημο εκτός της σειράς που έχει η πρώτη, στον εκθέτη της έκφρασης της δεύτερης για το -1 μέσα στην σειρά. Αυτό άλλωστε μπορεί να συναχθεί και από τα όσα λέγονται παρακάτω (γιατί;) καθώς και από την προτεινόμενη άσκηση 5 εδώ για $a=1$ . Επομένως μέσω της ενσωμάτωσης του εξωτερικού προσήμου στον εκθέτη της έκφρασης για το -1, μέσα στην σειρά, οπότε η τελευταία θα γίνει $-(-1)^{i+1}=(-1)^{i+2}=(-1)^{2}(-1)^{i}=(-1)^{i}$ , η σωστή έκφραση είναι η

$\Rightarrow \ln (u)=-\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i+1}(u-1)^{i+1}\:\forall u\in (0,2)$

$\Rightarrow \ln (u)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i}}{i+1}(u-1)^{i+1},\:\forall u\in (0,2).$

Το παραπάνω διορθώθηκε στις εν λόγω σημειώσεις (δείτε την ανάρτηση εδώ, που περιέχει πλέον τις διορθωμένες σημειώσεις– όπως είναι προφανές η διόρθωση αφορά μόσο στην συγκεκριμένη έκφραση της σελίδας 13).

Υπόδειξη για προτεινόμενη άσκηση: δεδομένου ότι όπως τελικά έχουμε εξάγει

$\ln (x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i}}{i+1}(x-1)^{i+1},\:\forall x\in (0,2],$

και αφού στα πλαίσια της άσκησης 2 εδώ , $\varepsilon\in (1,2)$ , έχουμε ότι (γιατί;)

$\ln (x)-(x-1)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i}}{i+1}(x-1)^{i+1},\:\forall x\in (1,\varepsilon),$ το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την έυρεση του ολοκληρώματος (που θα είναι μια συγκλίνουσα πραγματική σειρά για όποιο τέτοιο $\varepsilon$ -γιατί;) στην εν λόγω άσκηση.

Διόρθωση Τυπογραφικού Λάθους στην Διατύπωση Προτεινόμενης Άσκησης

Στην προτεινόμενη άσκηση 3 που βρίσκεται στην τελευταία σελίδα των σημειώσεων εδώ (που αφορά στην εύρεση λύσεων διαφορικών εξισώσεων με την μέθοδο των δυναμοσειρών) δίνεται από παραδρομή η εξίσωση $xy^{2}=y+x$ (η οποία προφανώς δεν περιλαμβάνει παράγωγο). Αντικαταστήστε την με την εξίσωση $xy'=y+x^{\kappa}$ , όπου $\kappa=0,1,2,...$ . Υπάρχει $\kappa$ για το οποίο η παραπάνω δεν έχει λύση με την μορφή δυναμοσειράς με κέντρο το 0;

Περαιτέρω Ώρες Γραφείου ΙΙ

Δεδομένης της μετάθεσης της εξέτασης του μαθήματος (δείτε π.χ. εδώ και εδώ) και επιπλέον των ωρών γραφείου της Τρίτης 2 Φεβρουαρίου, ανακοινώνονται και ώρες γραφείου για την Δευτέρα 15 Φεβρουαρίου 15:30-17:30.

Περαιτέρω Ώρες Γραφείου

Επιπλέον των ωρών γραφείου της Δευτέρας 1ης Φεβρουαρίου 2016 (δείτε εδώ) ανακοινώνονται και οι περαιτέρω ώρες γραφείου για την Τρίτη 2 Φεβρουαρίου 2016, 15:00-17:00.

Αποτελέσματα Προόδου

Εδώ μπορείτε να βρείτε τα θέματα της προόδου, και εδώ τους βαθμούς (οι βαθμοί παρατίθενται με άριστα το 150, επομένως για τον υπολογισμό του τελικού βαθμού, στον βαθμό της εξέτασης θα προστεθεί ο βαθμός της προόδου όπως φαίνεται στο παραπάνω, διαιρεμένος με 100).

Κάποιες μη εξαντλητικές παρατηρήσεις για τα παραπάνω είναι οι εξής:

1. Στο πρώτο θέμα, εφόσον ακολουθηθεί ανάλογη απόδειξη με αυτή των σχετικών διαλέξεων, θα πρέπει να αναπτυχθεί πλήρως ο συλλογισμός που οδηγεί από την μη αρνητικότητα των όρων της σχετικής Ακολουθίας Μερικών Αθροισμάτων (ΑΜΑ) στο ότι αυτή είναι αύξουσα, δεδομένου αυτού στο ότι επαρκεί η ΑΜΑ να είναι φραγμένη εξαιτίας της δυικής εκδοχής του συμπεράσματος στο θέμα 2 και στην αιτιολόγηση του γιατί αυτή ισχύει, δεδομένου αυτού στο ότι, έχοντας μη αρνητικούς όρους, επαρκεί να φράσσεται όρο προς όρο από πάνω από σχετική ΑΜΑ που είναι φραγμένη εξαιτίας του ότι αυτό συνεπάγεται την φραγή της αρχικής, και δεδομένου αυτού στο ότι επαρκεί η τελευταία να είναι συγκλίνουσα ΑΜΑ εξαιτίας του ότι κάθε συγκλίνουσα πραγματική ακολουθία, είναι και φραγμένη (και συνεπώς να είναι επαρκώς αιτιολογημένα τα (γιατί;) στις σχετικές σημειώσεις). Στην συνέχεια θα πρέπει να κατασκευαστεί προσεκτικά η ΑΜΑ φράγμα ώστε να είναι διαχειρίσιμη, και να δειχθεί ότι αυτή είναι συγκλίνουσα χωρίς την χρήση του κριτηρίου του πηλίκου (π.χ. αφού εδώ α=1, ένα τέτοιο φράγμα έχει την μορφή σταθεράς επί συγκλίνουσα γεωμετρική σειρά), κ.λ.π. (Προφανώς η κατασκευή ΑΜΑ που φράσσει όρο προς όρο από πάνω την αρχική για την οποία δεν είναι εύκολη η διακρίβωση της σύγκλισης, επειδή π.χ. και αυτή όπως και η αρχική έχει όρους που δεν γνωρίζουμε πως εξαρτώνται από τον δείκτη, δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμη).

2. Στο δεύτερο θέμα ένας τρόπος απόδειξης είναι ο δυικός της απόδειξης του σχετικού αποτελέσματος για αύξουσες και φραγμένες πραγματικές ακολουθίες, όπως παρουσιάστηκε στις διαλέξεις και τις σχετικές αναρτήσεις. Εν προκειμένω πρώτα αποδεικνύεται ότι σε διάστημα της μορφής $[\inf x_{n}, \inf x_{n}+\varepsilon)$ για αυθαίρετο $\varepsilon>0$ βρίσκεται τουλάχιστον ένας όρος της ακολουθίας (και όχι σε διάστημα της μορφής $(\inf x_{n}, \inf x_{n}+\varepsilon)$ (γιατί; θεωρήστε π.χ. όποια σταθερή ακολουθία, υπάρχει όρος της σε τέτοιο διάστημα;)) (Επίσης η ενασχόληση μόνο με διάστημα της μορφής $(\inf x_{n}-\varepsilon, \inf x_{n}]$ δεν είναι χρήσιμη καθώς εξαιτίας του φθίνοντος της υπό μελέτη πραγματικής ακολουθίας, σε αυτό θα βρίσκονται όροι της ανν αυτή είναι σχεδόν παντού σταθερή στο μέγιστο κάτω φράγμα της (γιατί;)). Στην συνέχεια χρησιμοποιείται το φθίνον της ακολουθίας και ο ορισμός του μέγιστου κάτω φράγματος, προκειμένου να δειχθεί ότι και κάθε όρος που αντιστοιχεί σε n μεγαλύτερο του προηγούμενου όρου θα βρίσκεται επίσης σε αυτό το διάστημα, και επομένως ότι μόνο πεπερασμένο πλήθος όρων που μπορεί να εξαρτάται από το $\varepsilon$ βρίσκεται εκτός του διαστήματος, και επομένως μόνο πεπερασμένο πλήθος όρων που μπορεί να εξαρτάται από το $\varepsilon$ βρίσκεται εκτός του $(\inf x_{n}-\varepsilon, \inf x_{n}+\varepsilon)$ αφού αυτό είναι υπερσύνολο του τελευταίου διαστήματος, και τέλος το αυθαίρετο του $\varepsilon$ μαζί με τον ορισμό του ορίου προκειμένου να εξαχθεί το ζητούμενο.

3. Στο τρίτο θέμα, καταρχάς όπως σημειώθηκε και στην επόμενη της προόδου διάλεξη, το δεδομένο $\cos(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i}}{(2i)!}x^{2i}$ για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ είναι ανακριβές, και το σωστό είναι το $\cos(x) -1 =\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i}}{(2i)!}x^{2i}$ για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ . Παρατηρήστε όμως ότι επειδή τόσο το $\cos(x)$ όσο και το $\cos(x) -1$ έχουν την ίδια παράγωγο η παραπάνω ανακρίβεια είναι δυνατόν να οδηγεί στο σωστό αποτέλεσμα (γιατί; δείτε την παρακάτω διαδικασία επίλυσης). Προφανώς το ότι για την ύπαρξη της ανακρίβειας δεν ευθύνονται οι εξεταζόμενοι λαμβάνεται υπόψη στην βαθμολόγηση. Π.χ. αν χρησιμοποιήθει το ανακριβές δεδομένο, ενώ η διαδικασία που ακολουθείται δεδομένου αυτού είναι άψογη τότε αποδίδεται το άριστα του θέματος, ή π.χ. αν χρησιμοποιήθει το ακριβές ανάπτυγμα του συνημιτόνου, και η διαδικασία που ακολουθείται δεδομένου αυτού είναι άψογη τότε αποδίδεται το άριστα του θέματος κ.ο.κ. Αναφορικά με την διαδικασία επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα της παραγωγισιμότητας των δυναμοσειρών εφόσον επιβεβαιωθεί η δυνατότητα χρήσης του ως προς το δεδομένο ανάπτυγμα του συνημιτόνου, δηλαδή εφόσον η σειρά που έχει δοθεί για το συνημίτονο είναι δυνατόν να τεθεί στην τυπική μορφή δυναμοσειράς και το διάστημα σύγκλισης αυτής είναι μη εκφυλισμένο (αυτό εξάγεται εύκολα από τα δεδομένα, πως;). Παραγωγίζοντας την δυναμοσειρά για το συνημίτονο και εξαιτίας της ισότητας που έχει δοθεί για κάθε πραγματικό αριθμό, παίρνουμε μια καινούργια δυναμοσειρά (γιατί είναι δυναμοσειρά;) που αναγκαστικά θα ταυτίζεται με το αρνητικό του ημιτόνου για κάθε πραγματικό αριθμό (γιατί;). Αναγνωρίζοντας ότι η πραγματική σειρά που ζητείται είναι ίση με το αρνητικό της δυναμοσειράς που προκύπτει από την παραγώγιση όταν αυτό υπολογισθεί στο $\frac{\pi}{2}$ και εξαιτίας της προαναφερθείσας ταύτισης προκύπτει το ζητούμενο. (Είναι δυνατόν να μελετηθεί η σειρά που προκύπτει αν στην ζητούμενη πραγματική σειρά το $\frac{\pi}{2}$ αντικατασταθεί με x. Σε αυτή την περίπτωση όμως η διαδικασία είναι λίγο πιο περίπλοκη. Προκειμένου να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα παραγωγισιμότητας θα πρέπει να τεθεί σε τυπική μορφή αλλά και να εξαχθεί με μεγαλύτερο κόπο σε σχέση με την παραπάνω διαδικασία το διάστημα σύγκλισης. Παραγωγίζοντάς την προκύπτει κάτι που έχει σχέση με το συνημίτονο, και στην συνέχεια μέσω ολοκλήρωσης είναι δυνατόν να συσχετιστεί η σειρά που παραγωγίσθηκε με γνωστή συνάρτηση για κάθε πραγματικό x, εφόσον όμως γίνει σωστή διαχείριση της σταθεράς της ολοκλήρωσης, κάτι που θα διευκολύνονταν από τα όσα κάναμε μετά την πρόοδο για την ολοκληρωσιμότητα των δυναμοσειρών. Τέλος ο υπολογισμός της ζητούμενης πραγματικής σειράς γίνεται όπως προηγουμένως) (Παρεμπιπτόντως, και γενικά, σε θέματα όπου είναι δυνατόν να χρησιμοποιούνται μετασχηματισμοί δεικτών, θα πρέπει αυτοί να γίνονται με προσοχή, π.χ. όταν αντικαθίσταται το i με το j=2i θα πρέπει να είναι εμφανές ότι ο νέος δείκτης παίρνει μόνο άρτιες τιμές κ.ο.κ.).

Εξέταση και Ώρες Γραφείου

Η προς εξέταση ύλη για την εξέταση της περιόδου Ιανουαρίου-Φεβρουαρίου 2016, περιλαμβάνει τις έννοιες που έχουν καλυφθεί μέχρι ΚΑΙ την διάλεξη της Παρασκευής 15/1/2016, όπως περιγράφονται και στις σχετικές αναρτήσεις που αφορούν στις διαλέξεις από την 1η έως ΚΑΙ την 24η.

Οι ώρες γραφείου για την εξεταστική περίοδο προσδιορίζονται ως εξής:

Παρασκευή 22/1/2016, 16:00-18:00, και
Δευτέρα 1/2/2016, 18:00-20:30.

Math III Blogspot

Το Ιστολογιο των Μαθηματικων ΙΙΙ